Matematika Hijaiyyah: 28 Bentuk Huruf Kanonik sebagai Codex Integer 18 Dimensi, dari Fondasi Formal sampai Prosesor di FPGA

1Pendahuluan

Setiap sistem matematika formal bekerja atas suatu domain. Geometri Euklides bekerja atas titik, garis, dan bidang; teori bilangan atas ℤ. Matematika Hijaiyyah menetapkan 28 huruf Hijaiyyah kanonik bentuk tunggal sebagai domain semacam itu [1]. Huruf diperlakukan sebagai objek geometri yang dapat diukur, dioperasikan, dan divalidasi. Bunyi dan makna huruf berada di luar cakupan, dan sistem ini bukan tafsir [2].

Tradisi Ḥisāb al-Jummal sudah memperlakukan huruf sebagai besaran, dengan memetakannya ke bilangan menurut urutan abjad. Pemetaan di sini berangkat dari arah lain: bilangan diturunkan dari geometri bentuk huruf, dan setiap angka dapat ditelusuri mundur sampai koordinat Bézier pada berkas font [1, 2].

Makalah ini memberi empat kontribusi:

1. definisi codex 18 dimensi dan enam guard O(1), beserta Master Table tersegel (§2);
2. lima operasi metrik atas codex yang sama, dan pengukuran ruang huruf yang dihasilkannya (§3);
3. rantai implementasi dari bahasa HC sampai prosesor HCPU di FPGA (§4);
4. metodologi verifikasi berlabel epistemik dan hasil terukurnya di papan fisik (§5–6), termasuk keterbatasan yang belum selesai (§7).

1.1Struktur sistem

Gambar 1 memetakan seluruh sistem dalam satu halaman. Bentuknya diadaptasi dari diagram I.20 buku (hal. XVII) [1] dan diperbarui terhadap repositori pada commit 7ff7356: setiap rumus diperiksa ulang dengan kode di src/hijaiyyah/, label status diambil dari teknologi/ISTILAH.md dan docs/ARCHITECTURE.md, dan komponen yang dibangun sesudah buku ditambahkan.

Pembaruannya ada tujuh. Vektor 14D ditulis dalam ℕ₀¹⁴, bukan ℕ₀¹⁸. Teorema Mod-4 ditulis lengkap dengan premisnya, yaitu MainPath tertutup, karena Θ̂ mod 4 tidak nol pada 21 dari 28 huruf. Guard menjadi enam (G1–G4, T1–T2), bukan empat. Penulisan A(h) memakai ∈, bukan =. Nama HGSS dan Normivektor mengikuti repositori, sedangkan buku menulis HGGS dan Normvektor. Tujuh komponen ditambahkan: HFS, loader HPG1, Ka'bah, Jamrah, Hijrah, NUI, dan Portal 8888. Terakhir, buku menulis "Hijaiyyah Hyperdimensional Bit Integration Technology", sedangkan kode memakai bentuk tanpa "Technology"; selisih nama ini belum diputuskan penulis.

2Fondasi formal

2.1Domain dan empat prinsip

Bentuk huruf diambil dari font KFGQPC [6] dan dikunci dengan segel dataset SHA-256 [3]. BAB I menetapkan empat prinsip normatif yang mengikat seluruh sistem [1]: Canonical Lock (setiap huruf dikunci pada satu sumber kanonik sebelum apa pun dihitung), Integer-Only (setiap nilai codex adalah bilangan bulat tak negatif, sehingga dua mesin tidak dapat berselisih soal pembulatan), Computable & Comparable, dan Auditable & Reproducible (setiap angka dapat ditelusuri ke sumbernya, dan segelnya dapat dihitung ulang siapa pun).

2.2Dari kerangka ke codex

CSGI membentuk graf kerangka dengan ketetanggaan delapan arah, dengan nuqṭah dipisahkan lebih dulu. MainPath memilih satu lintasan dominan dengan skor leksikografis, sehingga hasilnya tunggal. Kuantisasi per kuadran 90° (Q₉₀) menghasilkan Inḥinā' Θ̂, lalu klasifikasi N-K-Q mengisi komponen titik, garis, dan lengkung (Gambar 2).

2.3Struktur codex

Setiap huruf h menjadi satu vektor

yang memuat empat belas invarian, tiga ringkasan, dan penanda H* [1, 2]. Gambar 3 menguraikan vektor huruf Jim sebagai contoh.

2.4Enam guard

Keabsahan sebuah vektor diperiksa oleh tiga uji jumlah, satu kendala silang, dan dua kendala topologis [2, core/guards.py]:

G4 menyatakan kekekalan belokan: belokan yang dipakai lengkung tidak boleh melebihi belokan lintasan. Keenam guard terpenuhi untuk ke-28 huruf, dan ρ = 0 tepat untuk 10 huruf: Alif, Dal, Dzal, Ra, Zay, Tha, Zha, Mim, Waw, dan Haa. Karena setiap guard hanya menjumlah dan membandingkan beberapa komponen, pemeriksaannya berbiaya konstan, dan di HCPU ia selesai dalam satu siklus.

2.5Hybit dan ketertutupan

Himpunan vektor yang lolos keenam guard dinamai hybit, kependekan dari Hijaiyyah Hyperdimensional Bit Integration. Setiap kata dalam nama itu menyebut fungsi: 28 huruf tersegel sebagai sumber, ruang ℕ₀¹⁸, bit sebagai satuan yang digeneralisasi, dan ketertutupan monoid (V, +). Hybit berjalan di atas bit dan tidak menggantikannya [2].

2.6Master Table

Ke-28 vektor membentuk Master Table berukuran 28 × 18 = 504 nilai, dengan 148 sel bukan nol dan nilai terbesar 8 (Gambar 4). Pemetaannya injektif: 28 dari 28 vektor berbeda. Rank matriks 28 × 14 atas komponen invarian bernilai 14, sesuai pernyataan buku pada hal. 41 dan dihitung ulang oleh exometric.rank_M14(). Tabel disegel dengan SHA-256 f82d3859… [2].

3Metrik vektorial

BAB II memberi lima operasi atas codex yang sama [1]. Tabel 1 merangkum tugas tiap operasi menurut fungsi yang diimplementasikan di src/hijaiyyah/algebra/.

3.1Ruang huruf

Dengan ITM, jarak Euclides antara setiap pasangan dari 378 pasangan huruf dapat dihitung langsung dari Master Table. Kuadrat jaraknya mengambil 46 nilai berbeda. Jarak terkecil √2 dicapai oleh 13 pasangan, antara lain Ta–Tsa, Jim–Ha, Jim–Kha, dan Ha–Kha. Jarak terbesar √74 memisahkan Alif–Haa. Untuk menggambarkan ruang ini, jarak-jarak tersebut diproyeksikan ke bidang dengan penskalaan multidimensi klasik [8]; dua sumbu pertamanya memuat 75,0% dari variansi yang dipusatkan (Gambar 5). Proyeksi ini ilustrasi; jarak di gambar tidak sama persis dengan jarak 18 dimensi. Atas v₁₄ di intrametric.py, jarak terkecil 1 dan terbesar √70.

4Arsitektur komputasi

4.1Dari bahasa ke instruksi

HC (Hybit Code) adalah bahasa tingkat tinggi dengan hybit sebagai tipe data primitif. Kompilator HCC enam tahap menyisipkan pemeriksaan guard secara otomatis lewat Ψ-Injector, lalu menurunkan program ke HASM dan format biner HBC berkata 32 bit [2]. Program HC yang dikompilasi ke H-ISA berjalan di HCPU, dan tiga mesin yang menjalankannya memberi hasil yang sama. Sejak commit 7ff7356, pemuat HVM juga menolak citra HBC yang alur kontrolnya keluar dari program sebelum citra itu dijalankan.

H-ISA v1.1 mendefinisikan 103 opcode, dan 82 di antaranya diimplementasikan di RTL. Dua puluh delapan opcode huruf, 0xE0–0xFB, menjadikan satu huruf satu instruksi utuh. Sembilan instruksi bekerja langsung atas hybit: HLOAD, HCADD, HGRD, HNRM2, HDIST, HPACK, HCRC, JGD, dan JNGD.

4.2HCPU

HCPU (Hijaiyyah Core Processing Unit) adalah prosesor pipeline lima tahap: fetch, decode, execute, memory, dan writeback. Unit fungsionalnya mencakup ALU codex selebar 18 komponen, pemeriksa guard satu siklus, dan ROM 252 byte yang memuat ke-28 entri tabel. Tabel 2 meringkas keadaan arsitektural yang terlihat oleh perangkat lunak [2, rtl/hcpu_pkg.vh].

ISA ini tidak memiliki lompatan terhitung: JMP dan CALL keduanya berbentuk PC ← imm. Konsekuensinya, tidak ada tabel lompat atau penunjuk fungsi, dan alamat kembali tidak pernah berada di memori data.

4.3Tumpukan sistem

Di atas HCPU berjalan HOS, tumpukan tujuh lapis yang kernel dan layanannya ditulis sebagai program HASM: H-Kernel dengan proses, preemption, trap, dan syscall; HAL; HFS yang menyimpan berkas di kartu SD; dan loader yang memuat program dari kartu dalam container HPG1 dengan CHECKSUM32 [2]. Gambar 6 menempatkan lapis-lapis ini bersama layanan Ka'bah, Jamrah, Hijrah, dan HISAB, serta NUI sebagai pengawas.

Ka'bah adalah cipher lima lapis dengan kubus 25 × 64 bit dan 28 ronde. Hanya lapis 3, HMAC-SHA256 [4], yang memikul keamanan; lapis spons berlabel EH dan lapis kerahasiaan ditolak dengan sengaja. Jamrah adalah gerbang lapis 1 yang menolak masukan malformed dalam O(1). Karena masukannya satu byte, ia diuji tuntas atas 256 nilai. Hijrah mengukur kepadatan pencacahan dengan huruf: 4,58, 4,81, dan 4,81 bit per huruf atas GF(2), GF(4), dan GF(5) [2].

5Metodologi verifikasi

5.1Label epistemik

Setiap klaim membawa label yang menyatakan cara pembuktiannya, bukan tingkat keyakinan penulis (Tabel 3). Label melekat pada keadaan sekarang dan tidak naik tanpa bukti baru [2, cosmictera/RULES.md].

5.2Tangga bukti dan empat gerbang

Pekerjaan perangkat keras dihitung selesai hanya pada tingkat keempat tangga bukti (Gambar 7): keluaran benar dari papan fisik. Sebelum sebuah butir dinyatakan selesai, empat gerbang dijalankan dalam satu lari: lint dan pemeriksaan tipe, seluruh tes Python, seluruh testbench RTL, dan pembangunan bitstream. Setiap gerbang diuji dengan merusak apa yang dijaganya; sabotase yang lolos berarti tesnya yang lemah.

5.3Paritas tiga mesin

Interpreter Python (HISAMachine), RTL tersimulasi, dan papan harus memberi hasil identik untuk register, memori, guard, dan trap. Cacah clock sengaja tidak dibandingkan, karena interpreter tidak memodelkan waktu pipeline. Jawaban yang diharapkan dibekukan sebelum papan ditanya, dan analisis membaca byte mentah rekaman kabel sebelum mengurai teksnya [2, NUI/PARITY.md].

6Hasil

Tabel 4 merangkum hasil terukur; setiap baris tercatat bersama perintah yang mengulanginya di cosmictera-build/CHECKLIST.md dan PAPAN.md [2].

6.1Sumber daya FPGA

Papan GW2AR-18C memiliki 20.736 LUT4. Ketiga slot besar masing-masing memakai sekitar tiga perempat papan (Gambar 8), sehingga jumlah naif slot-slot itu melampaui kapasitas. Slot karena itu dimuat berurutan lewat rekonfigurasi, dan biaya rak sama dengan slot terbesar, 15.994 LUT4 atau 77% [2, 7].

6.2Paritas di papan

Dari 103 program korpus, 79 dikirim ke papan. Pada tingkat program hasilnya 73 PARITY, 2 MISMATCH, dan 28 UNKNOWN; pada tingkat opcode 74 PARITY, 0 MISMATCH, dan 29 UNKNOWN (Gambar 9). Kedua MISMATCH adalah keluaran PRINT untuk bilangan besar (§7). Opcode yang muncul di program cocok sekaligus di program berbeda tetap UNKNOWN dan tidak dipaksa menjadi PARITY. Empat program pencacah tetap UNKNOWN karena perbedaan semantik: interpreter menghitung instruksi, sedangkan silikon menghitung clock.

6.3Garis waktu

Gambar 10 menunjukkan urutan bukti. Butir perangkat keras baru dihitung pada tanggal ia berjalan di papan.

7Diskusi dan keterbatasan

Hasil di atas tidak berarti seluruh sistem sudah selesai. Keterbatasan berikut terukur dan dicatat apa adanya [2, cosmictera-build/OFF.md].

• PRINT bilangan besar di silikon. Pada tangga 2²², 2²³, 2²⁴, 2²⁵, 2²⁶, 2²⁷, dan 2³¹ yang dijalankan tiga kali, keluaran salah pada 2²³, 2²⁵, 2²⁶, 2²⁷, dan 2³¹, sedangkan 2²² dan 2²⁴ benar di setiap lari. Empat belas dari lima belas keluaran salah berbeda satu sama lain. Interpreter dan RTL tersimulasi benar; sebabnya belum diukur.
• Setelah HALT. Di silikon, PRINT sesudah HALT dan sesudah fault RET masih sampai ke kabel, sedangkan interpreter berhenti lebih dulu. Isi register dan RAM sesudah berhenti tidak teramati dari luar papan.
• HISAB. Serialiser Python berbeda dari RTL pada 13 tepi karena urutan bit status guard. Ini selisih yang diketahui dan belum diperbaiki.
• Jalur piksel HDMI masih cacat terbuka, sehingga sidik jari pembungkusnya belum dicap. Inilah satu-satunya tes Python yang gagal.
• Tahap yang belum dibuka. Overlay runtime (tahap 3) masih terhalang, HVM di papan (tahap 4) menunggu tahap 3, dan burn-in 168 jam belum dijalankan. Peran HCPU di Kria KV260 belum diputuskan.
• Keamanan. Belum ada satu pun lari serangan terhadap HCPU. Satu-satunya serangan yang pernah dijalankan, terhadap Ka'bah, menemukan cacat: permutasinya ternyata bukan permutasi (rank 1276 dari 1600). Kunci HMAC di papan adalah kunci uji publik, sehingga yang terbukti adalah jalurnya, bukan keamanannya. CHECKSUM32 adalah jumlah, sehingga dua kata yang ditukar tempat tetap lolos.

Cakupan sistem juga dibatasi secara sengaja: huruf diperlakukan sebagai geometri, bukan bunyi atau makna; Matematika Hijaiyyah bukan tafsir; dan hybit tidak menggantikan bit. Klaim "lebih aman" atau "lebih tahan" tidak ditulis sebelum ada lari serangan dan pengukurannya.

8Kesimpulan

Matematika Hijaiyyah mengubah 28 bentuk huruf kanonik menjadi 504 bilangan bulat tersegel yang dapat diperiksa dalam waktu konstan, dijumlahkan tanpa keluar dari himpunannya, dan diukur jaraknya satu sama lain. Rantai yang sama berlanjut tanpa putus sampai ROM sebuah prosesor yang berjalan di FPGA, dan setiap mata rantainya diperiksa ulang oleh tes, simulasi, atau papan fisik. Pekerjaan berikutnya adalah menutup selisih PRINT di silikon, membuka overlay runtime, menjalankan HVM di papan, dan menjalankan lari serangan pertama terhadap HCPU sebelum sistem dipindahkan ke platform yang lebih besar.

Ketersediaan data dan reproduksi

Master Table, kode, tes, dan program HCPU berada di repositori penulis pada commit 7ff7356, yang belum dipublikasikan. Hasil di Tabel 4 dapat diulang dengan python3 -m pytest -q, make -C rtl/tb all, dan make -C rtl/fpga/gowin bitstream; uji papan memakai skrip di rtl/scripts/.

Referensi

1. 1.M. Amratulloh, Matematika Hijaiyyah, Edisi I (BAB I: Fondasi Formal; BAB II: Metrik Vektorial Hijaiyyah). AMRA Publishing, Yayasan Amratulloh International Academy, dalam persiapan.
2. 2.Repositori hijaiyyah-mathematics, cabang fix/dataset-canonicalization-and-authorship, commit 7ff7356, 28 Oktober 2026 (belum dipublikasikan). Berkas yang dirujuk disebut dalam teks.
3. 3.National Institute of Standards and Technology, Secure Hash Standard (SHS), FIPS PUB 180-4, 2015.
4. 4.H. Krawczyk, M. Bellare, R. Canetti, HMAC: Keyed-Hashing for Message Authentication, RFC 2104, 1997.
5. 5.M. Nystrom, Identifiers and Test Vectors for HMAC-SHA-224, HMAC-SHA-256, HMAC-SHA-384, and HMAC-SHA-512, RFC 4231, 2005.
6. 6.King Fahd Glorious Qur'an Printing Complex (KFGQPC), font naskah Uthmani.
7. 7.Gowin Semiconductor, keluarga FPGA GW2AR; papan Sipeed Tang Nano 20K.
8. 8.W. S. Torgerson, "Multidimensional scaling: I. Theory and method," Psychometrika, vol. 17, no. 4, pp. 401–419, 1952.